¡Volví a reprobar cálculo! Es una frase teñida de frustración que se escucha con mucha frecuencia, entre los estudiantes universitarios, quienes arrastran el problema del aprendizaje de la matemática desde los primeros años de su educación, lo que genera preocupación porque no se trata de una disciplina aislada, sino que constituye el fundamento del razonamiento lógico que fortalece en el estudiante su capacidad para resolver problemas.
Conocedora de esta realidad, a través del contacto con sus estudiantes en las clases de cálculo y análisis matemático del sexto semestre de la licenciatura en Matemática, del Decanato de Ciencias y Tecnología de la UCLA, la profesora Carmen Valdivé, quien se hizo acreedora del Premio de Investigación 2012 en esta casa de estudios, ha dedicado sus investigaciones a determinar las causas que originan las dificultades de comprensión de conceptos claves en el cálculo, como lo son el de límite, continuidad, número real, entre otros.
A partir de esta realidad, hizo una revisión de las investigaciones que sobre el tema se han realizado y detectó que en estos estudios prevalecía un elemento común, como es el hecho de que los conceptos claves del cálculo se sirven de las ideas intuitivas que poseen los estudiantes sobre el infinitesimal o el infinitamente pequeño, una herramienta que ayuda a calcular límites o conceptos complejos del cálculo.
Esta inquietud quedó plasmada en su investigación titulada “Estudio de la evolución de los esquemas conceptuales previos asociados al infinitesimal: caso del alumno (2)”, la cual forma parte de un trabajo más amplio que estudia los esquemas conceptuales asociados al infinitesimal y su evolución en estudiantes de la licenciatura en Matemática.
Los resultados obtenidos le permiten a la profesora Valdivé afirmar que el estudiante no sólo adquiere los conocimientos a través de la ruta formal o informal, sino que puede llegar a ellos a través una ruta de aprendizaje mixto, porque emplea definiciones y teoremas en sus demostraciones combinadas con ideas informales.
El infinitesimal y la teoría cognitiva
La matemática es una ciencia más cercana a los procesos del ser humano de lo que se piensa. Está presente en la música, favorece la deducción lógica y, a partir de ella, se generan modelos que constituyen la base para el desarrollo de inventos en las diferentes áreas del conocimiento, que hacen la vida más cómoda.
Consciente de esta realidad, la profesora Carmen Valdivé se propuso como objetivo conocer lo que piensa un estudiante cuando trabaja con situaciones problemas en los que surge la visión del infinitesimal, especialmente para la comprensión de conceptos muy complejos del cálculo como el límite, que involucra la derivada y la integral en el que se utiliza la noción del infinitesimal.
Este trabajo se sustentó en una investigación humanística-interpretativa, de campo y descriptiva, en la que acompañó a un grupo de estudiantes en su proceso de aprendizaje durante un semestre, y tomó como base la información obtenida de informantes clave, mediante la técnica de la entrevista, con el propósito de saber qué piensan sobre una noción matemática y los conflictos que se producen cuando evocan esas imágenes o esquemas conceptuales y la definición formal.
A través de esta técnica la investigadora describió la evolución de los esquemas conceptuales previos asociados a la noción de infinitesimal de un alumno durante y al finalizar el semestre. Explicó que el infinitesimal se utiliza pero que no está definido ni aceptado universalmente por la comunidad matemática.
A partir de este estudio exploratorio y descriptivo realizado con 18 estudiantes del curso análisis matemático, tomó seis informantes claves, entre ellos, el número (2) le aportó información de especial importancia a su investigación, para la cual empleó la teoría cognitiva, que estudia la naturaleza del conocimiento matemático y los procesos que se utilizan para construir ese conocimiento.
Esta teoría permite detectar lo que piensa un estudiante en un momento determinado ante un problema matemático, sus percepciones, interpretaciones y los pensamientos que evoca y cómo evolucionan esas ideas a medida que se recibe teoremas, demostraciones y definiciones formales.
El alumno 2
La profesora Valdivé relató los detalles del seguimiento realizado, especialmente al informante clave de su información, el alumno (2), el cual, según explicó, tenía cinco ideas previas e informales acerca de la noción del infinitesimal, o infinitamente pequeño.
En tal sentido, indicó que a partir de estas ideas previas, el estudiante asociaba el infinitesimal a una razón, una función, a una diferencia, a un incremento, a un indivisible.
Expresó que en el transcurso de este trabajo surgieron nuevas inquietudes que le llevaron a preguntarse si los esquemas conceptuales del estudiante eran formales o informales, tal como lo plantea la aproximación teórica denominada pensamiento matemático avanzado desarrollada por Tall y Dreyfus.
El esquema conceptual en su acepción cognitiva, apuntó la profesora Valdivé, requiere de tareas, situaciones, problemas que lo hacen emerger y de las representaciones, contextos, conceptos asociados a la noción y de los procedimientos y ejemplos que el sujeto utiliza para resolver dichas situaciones o tareas.
Apoyada en esta definición, caracterizó el esquema conceptual a partir de las ideas que asocia el sujeto al concepto; las representaciones que hacen emerger la noción y representaciones, es decir, imágenes (dibujos, gráficas, palabras, símbolos) que el individuo percibe del objeto o concepto y que evoca ante una situación problema o tarea; los procedimientos (algorítmicos, aritméticos, algebraicos, geométricos, manipulaciones simbólicas) que el sujeto activa ante la tarea cognitiva; las ideas más representativas asociadas al objeto matemático; el contexto (geométrico, analítico, algebraico, aritmético o físico, no técnico) que el sujeto vincula ante la situación y los ejemplos y contraejemplos que implementa para explicitar sus ideas.
Esta caracterización le permitió determinar que al culminar la primera unidad el estudiante tenía un esquema informal, por cuanto sus ideas permanecían previas o intuitivas, es decir, utilizaba las mismas nociones que aprendió en el cálculo, en el álgebra, porque antes de cursar la asignatura análisis matemático del sexto semestre, los estudiantes deben aprobar varias materias relacionadas con el cálculo; y se mostró en acuerdo con quienes han afirmado que se necesitan las ideas intuitivas para poder adentrarse a los conceptos complejos.
En este primer momento, el estudiante (2) empezó a utilizar conceptos, pero no era capaz de definir esos conceptos matemáticos para poder matizar esa noción. En consecuencia, estas ideas previas pasaron a ser esquemas conceptuales informales, ya que a pesar de que daba ejemplos y conceptos, no hacía definiciones ni demostraciones.
Durante la segunda entrevista, relata la profesora Valdivé, realizada al culminar la segunda unidad, el estudiante mostró una faceta diferente, y cuando se le preguntó sobre el empleo del infinitesimal, respondió con definiciones y enunciaba y demostraba teoremas en los que utilizaba el infinitesimal.
No obstante, reconoce que aun en este momento de la investigación afloraban ideas informales, motivo por el cual pudo detectar que el estudiante construye ese conocimiento asociado al infinitesimal, con rutas de aprendizaje mixto.
Pensamiento matemático avanzado
En su aproximación teórica “Pensamiento matemático avanzado”, los investigadores Tall y Dreyfus en el año 2001, indicaban que la persona construye el conocimiento matemático a través de una ruta única que puede ser informal o formal, pero la investigación llevada a cabo en el aula le permitió detectar a la profesora Valdivé que no sólo es posible lograr el conocimiento por una vía sino que también pueden utilizarse ideas formales e informales.
Explicó que es posible sostener esta afirmación cuando se aprecia que el estudiante apela a ejemplos dentro de una aproximación de un teorema, o cuando se le pide una definición para demostrar un teorema, la definición es importante para hacer las demostraciones en matemática, en este caso el estudiante presenta ideas informales sin dejar de ser formal, lo que denominó ruta mixta.
Cuando se habla de ideas informales se hace referencia a ejemplos, gráficas y lenguaje natural mediante los cuales se expresan los pensamientos con los que se representa una demostración.
Aclaró que, aun cuando este tipo de ideas informales no se plasman en la demostración del teorema, el alumno las evoca, es el significado personal y la forma como lo comprende; pero para el pensamiento formal las herramientas son los teoremas, los axiomas y las definiciones.
